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 DylanThomas |
 # 31 ≡ Re: casse tête pour cavaliers!!! |
Groupe I
6285 posts depuis
le 17/3/2008
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Merci d'avoir posé cette question Calvados, ça m'a permis en y réfléchissant d'ENFIN comprendre la logique permettant de résoudre ce problème (problème évoqué notamment si j'ai bonne mémoire dans "le bizarre incident du chien pendant la nuit" de Mark Haddon, mais en lisant le livre j'avoue que je n'avais à l'époque pas tellement compris ce raisonnement un peu haut perché à mon goût... bon en même temps lire une explication de stats en V.O. c'est pas forcément le truc le plus simple qui soit non plus).
Nommons les trois portes A, B et C (j'utilise des lettres pour pas que ça devienne illisible avec des nombres qui après viendraient se confondre avec les chiffres des probabilités).
Utilisons les notations suivantes:
p(A) est la probabilité que Zarkava se trouve derrière la porte A
p(B) est la probabilité qu'elle soit derrière la porte B
p(C) est la probabilité que la championne se cache derrière la porte C
Si on considère qu'au départ les trois portes ont la même probabilité de cacher Zarkava, alors chaque porte a une probabilité d'1/3 d'être la porte gagnante.
On peut donc écrire l'équation suivante: p(A) = p(B) = p(C) = 1/3
Supposons pour notre exemple qu'on choisisse au départ la porte A.
Si on se place dans une logique de mathématicien-statisticien (logique tordue donc  ), on considérera que les 3 portes sont dès lors divisées en deux groupes: le groupe "porte choisie" et le groupe "portes non choisies".
Le groupe "porte choisie" est constitué de la porte A toute seule.
Le groupe "portes non choisies" est composé des portes B et C.
Les chances que Zarkava se trouve dans le groupe "porte choisie" sont donc égales à p(A), donc 1/3.
Les chances au contraire que Zarkava se trouve derrière une des portes non choisies sont de p(B) + p(C) = 1/3 + 1/3 = 2/3
Ce qui se résume à écrire que p(A) = 1/3 et p(B) + p(C) = 2/3
C'est maintenant qu'intervient la subtilité: le maître de cérémonie ouvre une des deux portes non choisies (disons pour notre exemple qu'il ouvrira la porte C), mais il ne le fait pas au hasard: il ouvre une porte dont il SAIT à l'avance qu'elle ne donne accès qu'à une chèvre... Quoiqu'il arrive, il était donc impossible qu'il ouvre la porte cachant la championne! N'oublions pas qu'on savait dès le départ que puisque Zarkava n'est derrière qu'une seule des 3 portes, alors au moins l'une des deux portes non choisies cachait une chèvre (voire les deux si on a choisi dès le départ la bonne porte): quand le présentateur du jeu ouvre la porte C, il ne fait donc que confirmer ce qu'on savait déjà, à savoir que les portes non choisies ne sont pas toutes les deux gagnantes.
La probabilité que Zarkava se trouve derrière l'une des deux portes non choisies reste donc comme au départ, c'est à dire de 2/3, SAUF QUE maintenant les 2 chances sur trois du début sont concentrées sur la seule porte B (puisque la porte C est à présent hors jeu)...
Puisque la probabilité que Zarkava se cache derrière la porte C (porte déjà ouverte dont on sait maintenant à coup sûr qu'elle renfermait une chèvre) est égale à zéro, on pourra donc écrire que:
p(B) = p(B) + p(C), puisque p(C) = 0
Or, on avait déjà déterminé que p(B) + p(C) = 2/3 : avec ce qu'on vient de déterminer, la suite est donc logique: p(B) + 0 = 2/3, donc p(B) = 2/3
Statistiquement donc, le candidat que je suis aura donc deux fois plus de chance de gagner s'il change d'avis et choisit finalement d'ouvrir celle des deux portes restantes qu'il n'avait pas sélectionnée au départ... si tordu, étrange et peu intuitif que cela puisse paraître, c'est pourtant mathématiquement et statistiquement exact.  |
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| 30.10.08 - 15:53 |
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| CalvadosBloodstock |
# 33 ≡ Re: casse tête pour cavaliers!!! |
Groupe I
1279 posts depuis
le 7/10/2007
De : Calvados; Cambridge
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DylanThomas,
Citation :Statistiquement donc, le candidat que je suis aura donc deux fois plus de chance de gagner s'il change d'avis et choisit finalement d'ouvrir celle des deux portes restantes qu'il n'avait pas sélectionnée au départ... si tordu, étrange et peu intuitif que cela puisse paraître, c'est pourtant mathématiquement et statistiquement exact.
misstagada55,
Citation :bien bien doc!!affirmatif mon cher watson!!!
Vous êtes trop forts, les amis ! Bonnes réponses !
La stratégie de rester avec son choix de début donne une chance sur 3 de gagner la pouliche (et 2 sur 3 de partir avec une chèvre-amie-pour-la-vie - je les aime bien).
La stratégie de changer de porte donne 2 chances sur 3 de partir avec la pouliche ZARKAVA. Pourquoi? Ma façon de comprendre ce calcul est la suivante. Au début, j'ai 2 chances sur 3 de choisir une porte à chèvre. Admettons que j'ai selectionné une porte à chèvre; alors quand le présentateur du jeu me montre une chèvre derrière une porte non choisie, et je change, je gagne la pouliche; et cela se passe 2 fois sur 3. Si au début j'ai selectionné la porte à ZARKAVA, alors je la perds en changeant, mais cela ne m'arrive qu'une fois sur 3. Afin d'optimiser mes chances, il vaut mieux donc changer de porte.
Souvent, on entend un raisonnement faux, qui dit qu'il faut rester avec le choix du début, parce que la probabilité d'avoir chosi la bonne porte augmente à 50% quand le présentateur du jeu ouvre une porte à chèvre.
Ou bien, on dit que cela est égale, et on tire à pile ou face, ce qui ne donne que 50 % de chance.
La stratégie de changer domine. C'est curieux, l'écart entre la raison et l'intuition naive !
Poulenc, 3 novelettes, http://www.youtube.com/watch?v=vWtdLYdGaR0&feature=related
Franck, Prélude, chorale et fugue, http://www.youtube.com/watch?v=Dq67nsDLucI
Rachmaninov, op.39, no.5 - https://www.youtube.com/watch?v=WaFiU77kr7s |
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| 30.10.08 - 22:31 |
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| CalvadosBloodstock |
# 35 ≡ Re: casse tête pour cavaliers!!! |
Groupe I
1279 posts depuis
le 7/10/2007
De : Calvados; Cambridge
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DylanThomas,
Citation :C'est maintenant qu'intervient la subtilité: le maître de cérémonie ouvre une des deux portes non choisies (disons pour notre exemple qu'il ouvrira la porte C), mais il ne le fait pas au hasard: il ouvre une porte dont il SAIT à l'avance qu'elle ne donne accès qu'à une chèvre... Quoiqu'il arrive, il était donc impossible qu'il ouvre la porte cachant la championne!
Oui! C'est là toute la subtilité et il faut savor comment tirer profit de cette information. Le cas de 3 portes est suffisamment riche afin d'apprécier la complexité du problème. Imaginons qu'il y a 100 portes, ZARKAVA et 99 chèvres, et qu'après le choix initial, le présentateur ouvre 98 portes cachant des chèvres (en pleine connaissance). Que ferait-on? C'est plus clair que changer est optimal. A fortiori pour N grand, N portes, ZARKAVA et N-1 chèvres, et l'ouverture de N-2 portes à chèvre.
Mais ce n'est que la haie d'essai pour ce genre de problème qui relève de toute une litérature sur la « dissonance cognitive ».
Par exemple, supposons que le jeu est le suivant. Il y a 7 portes (6 cachant des chèvres, 1 masquant ZARKAVA) dont vous choisissez 3; le présentateur (qui sait) ouvre 3 portes donnant sur des chèvres, et vous offre la possibilité de échanger vos 3 portes contre l'unique porte qui reste. Que faire? Maintenir son premier choix de 3, ou bien opter pour 1 porte?
Une variété intéressante, c'est le jeu à multiples étapes. Par exemple, 4 portes, ZARKAVA et 3 chèvres. On choisit une porte P1; le présentateur ouve une porte à chèvre, disons P2, et vous propose de changer ou de rester avec P1; après votre choix, disons P3 (qui peut être P1 au cas où on reste sur son choix), il ouvre une autre porte cachant une chèvre, et vous offre à nouveau la possibilité de changer ou de rester. Quelle est la stratégie optimale afin de partir avec ZARKAVA? (Rester, rester), (Changer, rester), (Rester, changer), ou (Changer, changer) ? Là encore, il faut tirer profit de l'information que chaque ouverture de porte à chèvre contribue. Bonne chance !
Poulenc, 3 novelettes, http://www.youtube.com/watch?v=vWtdLYdGaR0&feature=related
Franck, Prélude, chorale et fugue, http://www.youtube.com/watch?v=Dq67nsDLucI
Rachmaninov, op.39, no.5 - https://www.youtube.com/watch?v=WaFiU77kr7s |
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| 31.10.08 - 21:54 |
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| CalvadosBloodstock |
# 39 ≡ Re: casse tête pour cavaliers!!! |
Groupe I
1279 posts depuis
le 7/10/2007
De : Calvados; Cambridge
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misstagada55,
Citation :
La prochaine fois, ayez pitié de vos pauvres petits écoliers, Misstagada55 ! On est épuisé ! Et les neurones aussi. Merci quand même. Rigolo.
Poulenc, 3 novelettes, http://www.youtube.com/watch?v=vWtdLYdGaR0&feature=related
Franck, Prélude, chorale et fugue, http://www.youtube.com/watch?v=Dq67nsDLucI
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| 03.11.08 - 22:08 |
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